Тема «Перестановки без повторений»
Цель урока: познакомится с основным понятием комбинаторики - перестановки, научиться применять полученные знания для решения задач, а так же закрепить данное понятие.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока
1. Организационный момент и постановка цели урока.
Сегодня мы с вами познакомимся с такими понятием как, перестановка, закрепим данное понятие, познакомимся с формулами для вычислений перестановок и научимся их применять для решения задач. Для начала мы проверим домашнее задание.
2.Проверка домашнего задания. Контроль и оценка тематического онлайн-теста «Размещения без повторений».
3. Изучение нового материала.
Дадим определение понятию перестановка.
Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.
Задача 1. Сколькими способами можно рассадить n человек на n мест?
Решение:
1 способ. Перебор вариантов.
1) n = 1 Число возможных вариантов 1.
2) n = 2 Возможные варианты: 12 и 21, всего их 2.
3) n = 3 Возможные варианты: 123 213 312 132 231 321, всего их 6.
4) n = 4 Возможные варианты: 1234 2134 3124 4123
1324 2314 3214 4213
1432 2431 3421 4321
1243 2341 3142 4132
1342 2143 3241 4231
1423 2431 3412 4312. Всего их 24.
С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n, значит
2 способ. Применение формулы перестановок.
3 способ. Применение правила произведения. (для n = 4)
на 1 место человека можно посадить четырьмя способами: 1, 2, 3, 4
на 2 место только тремя способами: пример 12 13 14
на 3 место только двумя способами: пример 123 124
на 4 место только одним способом: пример 1234
всего вариантов: 4·3·2·1=24
Задача 2. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных предметов?
Решение:
Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова математика?
Решение: В слове математика 10 букв, значит перестановок будет
Однако буква а повторяется 3 раза, буква т – 2 раза, буква м – 2 раза и их перестановки не дают новых вариантов, значит
Задача 4. Для дежурства по классу в течение недели (кроме воскресения) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?
Решение: P=6!=720.
Задача 5. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии, что цифры в числе не повторяются?
Решение: Последняя цифра должна быть 5, предыдущие цифры могут быть составлены из оставшихся пяти цифр 1,2,3,4,6.
Р = 5! = 120
4. Закрепление изученного материала.
Решение заданий из раздела «Контрольные вопросы».
Рассмотреть вопросы №1, 2, 4, 6, 7, 10, 13.
5. Домашнее задание. Тематический онлайн-тест «Перестановки без повторений».
Урок 3. Перестановки без повторений
