Тема. «Размещения, сочетания и перестановки с повторениями»
Цель: познакомиться с размещениями, перестановки и сочетаниями с повторениями, научиться применять новые формулы для решения задач.
Тип урока: комбинированный
Ход урока
1. Организационный момент и постановка цели урока (5 мин).
На сегодняшнем уроке мы продолжим тему прошлого урока, познакомимся с размещения и сочетания с повторениями. Для начала мы проверим домашнее задание.
2. Проверка домашнего задания. С помощью интерактивной доски осуществляется контроль за домашним заданием.
3. Изучение нового материала.
Размещения с повторениями.
Пусть даны элементы а1, а2 , . . . , аn (а)
Определение. Размещением с повторениями из n элементов по k элементов называется всякая упорядоченная последовательность из k элементов, членами которой являются данные элементы. В размещении с повторениями один и тот же элемент может находиться на нескольких различных местах.
Формула для числа размещений с повторениями.
Каждый элемент может быть выбран n способами, поэтому: , где – обозначение размещений с повторениями.
Пример: размещения с повторениями из 4 элементов 1 , 2 , 3 и 4 по 3: 111; 112; 121; 211 и т.д.
Перестановки с повторением.
Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.
Пусть имеется n1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, nк предметов -го типа и при этом n1 + n2 +...+ nк = n. Количество разных перестановок предметов
Пример. Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».
Таким образом, число перестановок букв этого слова равно: P (2, 2,1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13! / (2! 2! 2! 2!) = 13! / 16.
Сочетания с повторениями.
Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком.
Пример: сочетания с повторениями из четырех элементов 1, 2, 3, 4 по два
11 12 13 22 32 14 24 33 34 44 ( всего их 10)
– формула сочетаний с повторениями.
4. Закрепление изученного материала.
Задачи на применение формул комбинаторики.
Задача 1. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4?
Решение:
Задача 2. Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3, при условии, что все цифры различны?
Решение:
Задача 3. Автомобильные номера состоят из тех букв (всего 30 букв) и четырех цифр (используется 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким способом, чтобы никакие два автомобили не имели одинаковые номера?
Решение: Это размещение с повторениями. Применим правило произведения:
Задача 4. Пятеро студентов сдают экзамен. Каким количеством способов могут быть выставлены оценки, если известно, что никто из студентов не получил неудовлетворительной оценки?
Решение:
Задача 5. У школьника 2 авторучки, 4 карандаша и 1 резинка. Он раскладывает эти предметы на парте в ряд. Сколько вариантов раскладки?
Решение: Р (2, 4, 1) = 7! / (2! 4! 1!) = 5*6*7 / 2 = 105.
Задача 6. Рыбаки поймали 5 подлещиков, 4 красноперки и 2 уклейки, посолили и вывесили на солнце сушиться. Сколько вариантов развешивания рыбы на нитке?
Решение: Р (5, 4, 2) = 11! / (2! 4! 5!) = 11*10*9*8*7*6 / (2*2*3*4) = 11*10*9*7 = 6930.
Задача 7. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?
Решение:
5. Проверка знаний.
Сегодня вы узнали, что такое размещения и сочетания с повторениями, попробовали применить новые формулы для решения задач.
Сейчас вы получите карточки, на которых будут начала формул. Ваша задача в течение трех минут, дописать формулы, написать, как они называются и как интерпретируются.
6. Домашнее задание.
Дома повторите то, что мы проходили на прошлом уроке, а также решите задачи:
1. На почте имеется 5 типов марок одинакового достоинства. На конверт нужно наклеить 3 марки. Сколько существует различных комбинаций наклейки марок на конверт, если порядок наклейки марок имеем значение?
2. Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?
3. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красные, зеленые и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Урок 6. «Размещения, сочетания и перестановки с повторениями»
